Question

若實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足

a2-lna

b

=

c-4

d

=1，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由

a2-lna

b

=

c-4

d

=1可知點(diǎn)P（a，b）是曲線f（x）=x²-lnx（x＞0）上的點(diǎn)，Q（c，d）是直線y=x-4上的點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，過曲線y=x²-lnx上的點(diǎn)P（a，b）且與線y=x-4平行時(shí)，|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²有最小值．

解答： 解：∵

a2-lna

b

=

c-4

d

=1，
∴點(diǎn)P（a，b）是曲線f（x）=x²-lnx（x＞0）上的點(diǎn)，Q（c，d）是直線y=x-4上的點(diǎn)，
∴|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²．
要使|PQ|²最小，當(dāng)且僅當(dāng)過曲線y=x²-lnx上的點(diǎn)P（a，b）且與y=x-4平行時(shí)．
∵f′（x）=

2x2-1

x

（x＞0），
由f′（x）＞0得，x＞

2

2

；由f′（x）＜0得0＜x＜

2

2

．
∴當(dāng)x=

2

2

時(shí)，f（x）取得極小值．
由

2x2-1

x

=1，可得x=1（負(fù)值舍去）
∴點(diǎn)P（1，1）到直線y=x-4的距離為d=

|1-1-4|

2

=2

2

，則d²=8．
∵|PQ|²≥d²=8，
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值為8．
故答案為：8

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)最值的應(yīng)用，分析得到點(diǎn)P（a，b）是曲線y=x²-lnx上的點(diǎn)，Q（c，d）是直線y=x-4上的點(diǎn)，|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查理解題意與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)到直線間的距離，屬于難題．