Question

4．已知$α∈（0，\frac{π}{2}）$，且$2cos2α=cos（α-\frac{π}{4}）$，則sin2α的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{8}$
• B． $-\frac{1}{8}$
• C． $-\frac{7}{8}$
• D． $\frac{7}{8}$

Answer 1

分析 $2cos2α=cos（α-\frac{π}{4}）$，可得2（cosα+sinα）（cosα-sinα）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα+sinα），由$α∈（0，\frac{π}{2}）$，可得cosα-sinα=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，再與cos²α+sin²α=1聯(lián)立，解得cosα，sinα，即可得出．

解答 解：∵$2cos2α=cos（α-\frac{π}{4}）$，
∴2（cosα+sinα）（cosα-sinα）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα+sinα），
由$α∈（0，\frac{π}{2}）$，可得cosα-sinα=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
與cos²α+sin²α=1聯(lián)立，解得cosα=$\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{8}$，sinα=$\frac{\sqrt{30}-\sqrt{2}}{8}$．
則sin2α=2sinαcosα=2×$\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{8}$×$\frac{\sqrt{30}-\sqrt{2}}{8}$=$\frac{7}{8}$．
故選：D．

點評 本題考查了同角三角函數基本關系式、倍角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．