Question

7．已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，$\frac{{2{S_n}}}{n}$=a_n+1-$\frac{1}{3}$n²-n-$\frac{2}{3}$．
（1）求a_n；
（2）證明：$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+…+$\frac{1}{a_n}$＜$\frac{7}{4}$（n∈N⁺）．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)因式分解可知$\frac{{2{S_n}}}{n}$=a_n+1-$\frac{1}{3}$（n+2）（n+1），進(jìn)而可知2S_n=na_n+1-$\frac{1}{3}$n（n+2）（n+1）、2S_n-1=（n-1）a_n-$\frac{1}{3}$n（n-1）（n+1），兩式相減再除以2、變形可知$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{a_n}{n}+1$，進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)a_n=n²（n≥3）放縮可知$\frac{1}{a_n}$＜$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 （1）解：∵$\frac{{2{S_n}}}{n}$=a_n+1-$\frac{1}{3}$n²-n-$\frac{2}{3}$=a_n+1-$\frac{1}{3}$（n²+3n+2）=a_n+1-$\frac{1}{3}$（n+2）（n+1），
∴2S_n=na_n+1-$\frac{1}{3}$n（n+2）（n+1），2S_n-1=（n-1）a_n-$\frac{1}{3}$n（n-1）（n+1），
兩式相減再除以2，有：a_n=n（a_n+1-a_n）-n（n+1），
變形，得：$\frac{a_n}{n}=\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}-1$，即$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{a_n}{n}+1$，
又∵a₂=4，
∴$\frac{a_2}{2}-{a_1}$=1滿足上式，
∴$\frac{a_n}{n}$=n，即a_n=n²（n∈N⁺）；
（2）證明：∵a_n=n²（n∈N⁺），
∴$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+…+$\frac{1}{a_n}$=1+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{3^2}$+…+$\frac{1}{n^2}$
＜1+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{（n-1）×n}$
=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$
=$\frac{5}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$
＜$\frac{7}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法、考查構(gòu)造數(shù)列法，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．