Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且Sn=2an﹣3n（n∈N+）．
（1）求a1 ， a2 ， a3的值；
（2）是否存在常數(shù)λ，使得{an+λ}為等比數(shù)列？若存在，求出λ的值和通項(xiàng)公式an ， 若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1=2a1﹣3，解得a1=3，

當(dāng)n=2時(shí)，S2=a1+a2=2a2﹣6，解得a2=9，

當(dāng)n=3時(shí)，S3=a1+a2+a3=2a3﹣9，解得a3=21

（2）解：假設(shè){an+λ}是等比數(shù)列，則（a2+λ）2=（a1+λ）（a3+λ），

即（9+λ）2=（3+λ）（21+λ），解得λ=3．

下面證明{an+λ}為等比數(shù)列：

∵Sn=2an﹣3n，∴Sn+1=2an+1﹣3n﹣3，

∴an+1=Sn+1﹣Sn=2an+1﹣2an﹣3，

即2an+3=an+1，∴2（an+3）=an+1+3，

∴ =2，

∴{an+3}是首項(xiàng)為a1+3=6，公比為2的等比數(shù)列．

∴an+3=6×2n﹣1，

∴an=6×2n﹣1﹣3．

【解析】1、由題意可知，代入題目的已知公式推導(dǎo)可得。
2、由假設(shè)法可得，假設(shè){an+λ}是等比數(shù)列，則（a2+λ）2=（a1+λ）（a3+λ），即（9+λ）2=（3+λ）（21+λ），解得λ=3．根據(jù)前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)出{an+3}是首項(xiàng)為a1+3=6，公比為2的等比數(shù)列。
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的定義和表示和等比關(guān)系的確定是解答本題的根本，需要知道數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．記作an，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，……，序號為n的項(xiàng)叫第n項(xiàng)（也叫通項(xiàng)）記作an；等比數(shù)列可以通過定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷．