Question

15．矩形ABCD與矩形ABEF全等，且平面ABCD⊥平面ABEF，AD=2AB=2，若$\overrightarrow{FM}$=λ$\overrightarrow{FB}$，$\overrightarrow{AN}$=μ$\overrightarrow{AC}$，λ，μ∈R，λ+μ=1，則|$\overrightarrow{MN}$|的最小值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{6}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 建立空間坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)表示出$\overrightarrow{MN}$，代入模長(zhǎng)公式轉(zhuǎn)化為求最小值問(wèn)題．

解答 解：建立空間坐標(biāo)系如圖，則A（0，0，0），B（0，1，0），C（0，1，2），F(xiàn)（2，0，0），∴$\overrightarrow{AC}$=（0，1，2），$\overrightarrow{FB}$=（-2，1，0），
$\overrightarrow{FA}$=（-2，0，0）∴$\overrightarrow{AN}$=（0，μ，2μ），$\overrightarrow{FM}$=（-2λ，λ，0）．∴$\overrightarrow{MN}$=-$\overrightarrow{FM}$+$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{AN}$=（2λ-2，μ-λ，2μ）．
∴$\overrightarrow{MN}$²=（2λ-2）²+（μ-λ）²+（2μ）²=5λ²+5μ²-8λ-2λμ+4．∵λ+μ=1，∴λ=1-μ．
∴$\overrightarrow{MN}$²=5（1-μ）²+5μ²-8（1-μ）-2μ（1-μ）+4=12μ²-4μ+1=12（μ-$\frac{1}{6}$）²+$\frac{2}{3}$≥$\frac{2}{3}$．
∴當(dāng)μ=$\frac{1}{6}$時(shí)，$\overrightarrow{MN}$²取得最小值$\frac{2}{3}$，∴|$\overrightarrow{MN}$|的最小值為$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的線性運(yùn)算及幾何意義，結(jié)合圖形表示出$\overrightarrow{MN}$是關(guān)鍵．