Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2sinxcosx（x∈R）．
（1）求f（

π

6

）的值；
（2）若cosα=-

3

5

，α∈（

π

2

，π），求f（

α

2

+

π

24

）．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）由二倍角余弦和正弦公式以及兩角和的正弦公式，化簡f（x），再代入x=

π

6

，計算即可得到所求值；
（2）由條件先求sinα，再用兩角和的正弦公式展開，代入有關(guān)數(shù)值，即可得到答案．

解答： 解：（1）f（x）=2cos²x+2sinxcosx
=1+cos2x+sin2x=1+

2

（

2

2

cos2x+

2

2

sin2x）
=1+

2

sin（2x+

π

4

）．
則f（

π

6

）=1+

2

sin（

π

3

+

π

4

）=1+

2

×

2

2

（

3

2

+

1

2

）
=

3+ 3

2

；
（2）由cosα=-

3

5

，α∈（

π

2

，π），得sinα=

4

5

，
則f（

α

2

+

π

24

）=1+

2

sin（α+

π

12

+

π

4

）
=1+

2

（sinαcos

π

3

+cosαsin

π

3

）
=1+

2

[

4

5

×

1

2

+（-

3

5

）×

3

2

]
=

10+4 2 -3 6

10

．

點評：本題考查三角函數(shù)的求值，考查二倍角公式和兩角和的正弦公式及運用，考查運算能力，屬于中檔題．