20.已知銳角θ滿足sin(${\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{6}}$)=$\frac{4}{5}$,則cos(θ+$\frac{5π}{6}}$)的值為$-\frac{24}{25}$.

分析 利用同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.

解答 解:∵sin(${\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{6}}$)=$\frac{4}{5}$,
∴sin2(${\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{6}}$)=$\frac{1}{2}$[1-cos(θ+$\frac{π}{3}$)]=$\frac{16}{25}$,則cos(θ+$\frac{π}{3}$)=-$\frac{7}{25}$,
∵0<θ<$\frac{π}{2}$,
∴$\frac{π}{3}$<θ+$\frac{π}{3}$<$\frac{5π}{6}$,
∴sin(θ+$\frac{π}{3}$)>0,
∴sin(θ+$\frac{π}{3}$)=$\sqrt{1-(-\frac{7}{25})^{2}}$=$\frac{24}{25}$
∴cos(θ+$\frac{5π}{6}$)=cos($\frac{π}{2}$+θ+$\frac{π}{3}$)=-sin(θ+$\frac{π}{3}$)=-$\frac{24}{25}$,
故答案為:$-\frac{24}{25}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,熟記公式即可解答,屬于基礎(chǔ)題,考查學(xué)生的計(jì)算能力.

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