A. | 4 | B. | 3 | C. | 2 | D. | 1 |
分析 分別令x=x+1和x=x+3代入f(x-1)+f(x+1)=0即可得出f(x)=f(x+4),從而得出f(x)周期為4,根據(jù)f(2-x)-f(2+x)=0可得f(x)的對稱軸為x=2,由f(x)=f(4-x)=f(-x)可得f(x)為偶函數(shù),利用f(x)的奇偶性驗證f(1-x)+f(1+x)是否為0即可判斷對稱中心.
解答 解:∵f(x-1)+f(x+1)=0,
∴f(x)+f(x+2)=0,
∴f(x+2)+f(x+4)=0,
∴f(x)=f(x+4),
∴f(x)是以4為周期的函數(shù);故①錯誤;
∵f(2-x)-f(2+x)=0,即f(2-x)=f(2+x),
∴f(x)的對稱軸為x=2,故②正確;
∵f(2-x)=f(2+x),∴f(x)=f(4-x),
又f(x)的周期為4,∴f(4-x)=f(-x),
∴f(x)=f(-x),∴f(x)是偶函數(shù),故③正確;
∵f(x)是偶函數(shù),∴f(x+1)=f(-1-x),
∵f(x-1)+f(x+1)=0,∴f(x-1)+f(-1-x)=0,
∴f(x)關(guān)于(-1,0)對稱,故④正確.
故選B.
點評 本題考查了函數(shù)周期性,對稱性,奇偶性的判斷,屬于中檔題.
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A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
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A. | $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$ | B. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | C. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | D. | 1 |
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A. | 3 | B. | 2 | C. | $\frac{9}{2}$ | D. | -2 |
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