4.已知函數(shù)f(x)=$\frac{{{x^2}-1}}{x}$-klnx(x≥1).
(1)若f(x)≥0恒成立,求k的取值范圍;
(2)若取$\sqrt{5}$=2.2361,試估計(jì)ln$\frac{5}{4}$的值.( 精確到0.001)

分析 (1)$f'(x)=\frac{{{x^2}-kx+1}}{x^2}$,由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出k的取值范圍.
(2)由已知得$\frac{{{x^2}-1}}{x}≥2lnx$在[1,+∞)上恒成立,由此能求出結(jié)果.

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=$\frac{{{x^2}-1}}{x}$-klnx(x≥1),
∴$f'(x)=\frac{{{x^2}-kx+1}}{x^2}$.
①當(dāng)-2≤k≤2時(shí),k2-4≤0,x2-kx+1≥0恒成立,
所以x∈[1,+∞)時(shí),f'(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增,
f(x)≥f(1)=0恒成立.
②當(dāng)k<-2或k>2時(shí),f'(x)=0,
解得${x_1}=\frac{{k-\sqrt{{k^2}-4}}}{2},{x_2}=\frac{{k+\sqrt{{k^2}-4}}}{2}$,且x1+x2=k,x1•x2=1.
(。 若k<-2,則x1<0,x2<0,
∴x∈[1,+∞)時(shí),f'(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增,f(x)≥f(1)=0恒成立.
(ⅱ) 若k>2,則x1<1,x2>1,
當(dāng)x∈(1,x2)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,f(x)<f(1)=0,
這與f(x)≥0恒成立矛盾,
綜上所述,k的取值范圍為(-∞,2].
(2)由(1)得$\frac{{{x^2}-1}}{x}≥2lnx$在[1,+∞)上恒成立,
取$x=\frac{{\sqrt{5}}}{4}>1$得$2ln\sqrt{\frac{5}{4}}<\sqrt{\frac{5}{4}}-\sqrt{\frac{4}{5}}$,
即$ln\frac{5}{4}<\sqrt{\frac{5}{2}}-\frac{2}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{10}=0.22361$,
由(1)得k>2時(shí),$\frac{{{x^2}-1}}{x}<klnx$在$({1,\frac{{k+\sqrt{{k^2}-4}}}{2}})$時(shí)恒成立,
令$\frac{{k+\sqrt{{k^2}-4}}}{2}=\sqrt{\frac{5}{4}}$,解得$k=\frac{{9\sqrt{5}}}{10}$,
取$k=\frac{{9\sqrt{5}}}{10}>2$,則有$\frac{{{x^2}-1}}{x}<\frac{{9\sqrt{5}}}{10}lnx$在$({1,\sqrt{\frac{5}{4}}})$上恒成立,
取$x=\sqrt{\frac{5}{4}}$得$\sqrt{\frac{5}{4}}-\sqrt{\frac{4}{5}}<\frac{{9\sqrt{5}}}{10}ln\sqrt{\frac{5}{4}}$,
∴$ln\frac{5}{4}>\frac{2}{9}≈0.2222$,$0.2222<ln\frac{5}{4}<0.22361$(精確到0.001).
取$ln\frac{5}{4}=0.223$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,考查對(duì)數(shù)值的估計(jì)值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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網(wǎng)購(gòu)金額(元)頻數(shù)頻率
(0,500]50.05
(500,1000]xp
(1000,1500]150.15
(1500,2000]250.25
(2000,2500]300.3
(2500,3000]yq
合計(jì)1001.00
(1)先求出x,y,p,q的值,再將如圖所示的頻率分布直方圖繪制完整;
(2)對(duì)這100名網(wǎng)購(gòu)者進(jìn)一步調(diào)查顯示:購(gòu)物金額在2000元以上的購(gòu)物者中網(wǎng)齡3年以上的有35人,購(gòu)物金額在2000元以下(含2000元)的購(gòu)物者中網(wǎng)齡不足3年的有20人,請(qǐng)?zhí)顚懴旅娴牧新?lián)表,并據(jù)此判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為網(wǎng)購(gòu)金額超過(guò)2000元與網(wǎng)齡在3年以上有關(guān)?
x網(wǎng)齡3年以上網(wǎng)齡不足3年合計(jì)
購(gòu)物金額在2000元以上35
購(gòu)物金額在2000元以下20
總計(jì)100
參考數(shù)據(jù):
P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001
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