Question

11．已知：四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，且AB∥CD，△DAB=90°，DC=2AD=2AB，側(cè)面PAD與底面垂直，PA=PD，點(diǎn)M為側(cè)棱PC上一點(diǎn)D．
（1）若PA=AD，求PB與平面PAD的所成角大�。�
（2）問$\frac{PA}{AD}$多大時(shí)，AM⊥平面PDB可能成立．

Answer 1

分析 （1）以AD中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，利用向量法能求出PB與平面PAD的所成角大�。�
（2）設(shè)P（0，0，t），求出$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{3}{2}$，2，$\frac{t}{2}$），$\overrightarrow{PD}$=（-1，0，-t），$\overrightarrow{PB}$=（1，2，-t），由AM⊥平面PDB，得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{PD}=0，\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{PB}=0$，由此能示出AM⊥平面平面PDB不可能成立．

解答 解：（1）以AD中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，
則P（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，2，0），$\overrightarrow{PB}$=（1，2，-$\sqrt{3}$），
平面PAD的法向量就是$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），
設(shè)PB與平面PAD的所成角為θ，
由sinθ=$\frac{|\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{4}{\sqrt{8}•2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{4}$，
∴PB與平面PAD的所成角大小為$\frac{π}{4}$．
（2）設(shè)P（0，0，t），則D（-1，0，0），B（1，2，0），A（1，0，0），C（-1，4，0），M（-$\frac{1}{2}$，2，$\frac{t}{2}$），
$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{3}{2}$，2，$\frac{t}{2}$），$\overrightarrow{PD}$=（-1，0，-t），$\overrightarrow{PB}$=（1，2，-t），
∵AM⊥平面PDB，∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{PD}=0，\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{PB}=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}-\frac{{t}^{2}}{2}=0}\\{-\frac{3}{2}+4-\frac{{t}^{2}}{2}=0}\end{array}\right.$，無解，
∴AM⊥平面平面PDB不可能成立．

點(diǎn)評 本題考查線面角的大小的求法，考查線面能否垂直的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．