Question

已知函數(shù)f（x）=

a

•

b

，且向量

a

=（4m，-1），

b

=（sin（π-x），sin（

π

2

+2x）），（m∈R）
（I）求m=0，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）若m＜-1，求f（x）的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（I）由向量的數(shù)量積運算和誘導公式化簡解析式，再把m=0代入，根據(jù)余弦函數(shù)和復合函數(shù)的單調(diào)性，求出此函數(shù)的增區(qū)間；
（II）利用輔助角公式對解析式化簡，再由正弦函數(shù)的最值求出此函數(shù)的最大值和最小值．

解答：解：（I）由題意得，f(x)=

a

•

b

=4msin（π-x）-sin（

π

2

+2x）=4msinx-cos2x
當m=0時，f（x）=-cos2x，
由2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈z）得，kπ≤x≤

π

2

+kπ（k∈z），
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ，

π

2

+kπ]（k∈z），
（II）由（I）知，f（x）=4msinx-cos2x=

16m2+1

sin（2x-θ）（其中tanθ=-

1

4m

），
∴當sin（2x-θ）=1時，函數(shù)f（x）取到最大值

16m2+1

，
當sin（2x-θ）=-1時，函數(shù)f（x）取到最大值-

16m2+1

．

點評：本題考查了向量的數(shù)量積運算和誘導公式，輔助角公式，以及正弦（余弦）函數(shù)的性質(zhì)的綜合應用．