Question

7．若存在實(shí)常數(shù)k和b，使得函數(shù)F（x）和G（x）對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，則稱此直線y=kx+b為F（x）和G（x）的“隔離直線”．已知函數(shù)f（x）=x²，g（x）=2elnx，則f（x）和g（x）之間的“隔離直線”的方程為$y=2\sqrt{e}x-e$．

Answer 1

分析 若f（x）和g（x）存在隔離直線，那么該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)隔離直線的斜率為k．利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出切線方程即可得到結(jié)論．

解答 解：令m（x）=f（x）-g（x）=x²-2elnx（x＞0），再令m′（x）=2x-$\frac{2e}{x}$=0，解得 x=$\sqrt{e}$．
從而函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x=$\sqrt{e}$處有公共點(diǎn)．此時(shí)公共點(diǎn)為（$\sqrt{e}$，e），
因此存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)隔離直線的斜率為k，則
隔離直線方程為y-e=k（x-$\sqrt{e}$），即y=kx-k $\sqrt{e}$+e．
由f（x）≥kx-k $\sqrt{e}$+e可得 x²-kx+k $\sqrt{e}$-e≥0當(dāng)x∈R恒成立，
則△=k²-4k$\sqrt{e}$+4e=${（k-2\sqrt{e}）}^{2}$≤0，只有k=2 $\sqrt{e}$時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)直線方程為：y=2 $\sqrt{e}$x-e．
同理證明，由g（x ）≤kx-k $\sqrt{e}$+e，可得只有k=2 $\sqrt{e}$時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)直線方程為：y=2 $\sqrt{e}$x-e．
綜上可得，函數(shù)f（x）和g（x）存在唯一的隔離直線y=2 $\sqrt{e}$x-e．
故答案為：y=2 $\sqrt{e}$x-e

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的切線和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)隔離直線的定義，確定隔離直線是兩個(gè)函數(shù)的公共切線是解決本題的關(guān)鍵．