Question

15．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C：ρ²=$\frac{15}{1+2co{s}^{2}θ}$，直線l為2ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$．
（1）判斷曲線C與直線l的位置關(guān)系，寫出直線l的參數(shù)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C：ρ²=$\frac{15}{1+2co{s}^{2}θ}$，即ρ²+2ρ²cos²θ=15，利用互化公式可得：曲線C直角坐標(biāo)方程．直線l為2ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，展開可得：$2ρ（\frac{1}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=$\sqrt{3}$，化為直角坐標(biāo)方程．直線l與y軸的交點(diǎn)P（0，$\sqrt{3}$）在橢圓的內(nèi)部．即可得出：直線l的參數(shù)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入橢圓方程可得：t²+2t-8=0，可得|AB|=|t₁-t₂|．

解答 解：（1）曲線C：ρ²=$\frac{15}{1+2co{s}^{2}θ}$，即ρ²+2ρ²cos²θ=15，3x²+y²=15，可得：曲線C的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{y}^{2}}{15}+\frac{{x}^{2}}{5}$=1．
直線l為2ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，展開可得：$2ρ（\frac{1}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=$\sqrt{3}$，化為：x-$\sqrt{3}$y-$\sqrt{3}$=0．
直線l與y軸的交點(diǎn)P（0，$\sqrt{3}$）在橢圓的內(nèi)部．
∴直線l與曲線C相交．則直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入橢圓方程可得：t²+2t-8=0，
解得t₁=2，t₂=-4．
∴|AB|=|t₁-t₂|=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、極坐標(biāo)的應(yīng)用、參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．