Question

(本小題滿分14分)

已知函數(shù)，.

(1)如果函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；

(2)是否存在實數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）()

【解析】

試題分析：（1）當時，在上是單調(diào)增函數(shù)，符合題意．        ……1分

當時，的對稱軸方程為，

由于在上是單調(diào)增函數(shù)，

所以，解得或，

所以．                                                                 ……3分

當時，不符合題意．  

綜上，的取值范圍是．                                                 ……4分

（2）把方程整理為，

即為方程.                                             ……5分

設(shè) ，

原方程在區(qū)間()內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根,

即為函數(shù)在區(qū)間()內(nèi)有且只有兩個零點.                                 ……6分

，                ……7分

令，因為，解得或（舍），                         ……8分

當時, , 是減函數(shù)；

當時, ，是增函數(shù).                                   ……10分

在()內(nèi)有且只有兩個不相等的零點, 只需                  ……13分

即 ∴，

解得, 所以的取值范圍是() ．                         ……14分

考點：本小題主要考查二次函數(shù)的單調(diào)性和利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查學生對導數(shù)的工具性的應用能力和分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應用.

點評：研究高次函數(shù)的單調(diào)性一般用導數(shù)，前提是合理構(gòu)造函數(shù)并正確求導，而不論用什么方法考查函數(shù)的性質(zhì)，都不能忘記函數(shù)的定義域.