Question

如圖，已知底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，AP=BP=

2

2

PC=

2

．
（1）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）求三棱錐D-PAC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AB的中點(diǎn)E，連接PE，CE，證明PE⊥平面ABCD，（2）V_D-PAC=V_P-DAC=

1

3

•SDAC•PE．底面與高都很簡(jiǎn)單．

解答： 解：（1）證明：如圖所示，取AB的中點(diǎn)E，連接PE，CE，
則PE是等腰三角形PAB的底邊上的中線(xiàn)，則PE⊥AB．
∴PE=1，CE=

3

，PC=2．∴PE⊥CE．
又∵AB，CE?平面ABCD，且AB∩CE=E，
∴PE⊥平面ABCD，
∴平面PAB⊥平面ABCD；
（2）V_D-PAC=V_P-DAC
=

1

3

•SDAC•PE=

1

3

•

1

2

•2•2•sin60°•1
=

1

3

•

1

2

•2•2•

3

2

•1=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生的作圖能力，及轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．