Question

1．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和${S_n}=\frac{n}{n+1}$，數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=n-8，則b_nS_n的最小值為-4．

Answer 1

分析 由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得a_n=n（n+1），采用“裂項(xiàng)法”即可求得數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，b_nS_n=（n-8）（1-$\frac{1}{n+1}$）=n+1+$\frac{9}{n+1}$-10，利用基本不等式的性質(zhì)，即可求得b_nS_n的最小值

解答 -解：由題意可知：a_n=2×$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
S_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$
則b_nS_n=（n-8）（1-$\frac{1}{n+1}$）=n+1+$\frac{9}{n+1}$-10≥2$\sqrt{（n+1）×\frac{9}{n+1}}$-10=-4，
當(dāng)且僅當(dāng)n+1=$\frac{9}{n+1}$，即n=2時(shí)取最小值-4，
∴b_nS_n的最小值-4，
故答案為：-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式，“裂項(xiàng)法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查數(shù)列與基本不等式相結(jié)合，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．