Question

已知函數(shù)f（x）=a•4^x-a•2^x+1+2在區(qū)間[-2，2]上的最大值為3，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令t=2^x，由x∈[-2，2]，可得t∈[

1

4

，4]，則g（t）=f（x）=at²-2at+2，根據(jù)函數(shù)的最大值為3，分類討論求得a的值．

解答： 解：令t=2^x，∵x∈[-2，2]，∴t∈[

1

4

，4]，則g（t）=f（x）=at²-2at+2．
當(dāng)a=0時(shí)，g（t）=2≠3，故舍去a=0；
當(dāng)a≠0時(shí)，g（t）=a（t-1）²+2-a；
當(dāng)a＞0時(shí)，g（t）_max=g（4）=8a+2=3，∴a=

1

8

．
當(dāng)a＜0時(shí)，g（t）_max=2-a=3，∴a=-1．
綜上，a=

1

8

或a=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬基礎(chǔ)題．