Question

已知tan（π+α）=-

1

3

，tan（α+β）=

sin(π-2α)+4cos2α

10cos2α-sin2α

．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求tanβ的值．

Answer 1

分析：（1）先利用誘導(dǎo)公式對(duì)已知化簡(jiǎn)可得tanα，然后把tanα的值代入第二個(gè)式子可求tan（α+β）
（2）利用拆角可得β=（α+β）-α，結(jié)合（1）利用兩角差的正切公式可求

解答：解：（1）∵tan（π+α）=-

1

3

，
∴tanα=-

1

3

，
∵tan（α+β）=

sin(π-2α)+4cos2α

10cos2α-sin2α

=

sin2α+4cos2α

10cos2α-sin2α

=

2sinαcosα+4cos2α

10cos2α-2sinαcosα

=

2cosα(sinα+2cosα)

2cosα(5cosα-sinα)

=

sinα+2cosα

5cosα-sinα

=

tanα+2

5-tanα

，
∴tan（α+β）=

- 1 3 +2

5+ 1 3

=

5

16

．
（2）∵tanβ=tan[（α+β）-α]=

tan(α+β)-tanα

1+tan(α+β)tanα

，
∴tanβ=

5 16 + 1 3

1- 5 16 × 1 3

=

31

43

．

點(diǎn)評(píng)：（1）主要考查了誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用（2）拆角技巧在求解三角函數(shù)值中的運(yùn)用，常見(jiàn)的拆角有2α=（α+β）+（α-β），2β=（α+β）-（α-β），α=α+β-β，β=α+β-α．