Question

8．已知f（x）=-x²-3，g（x）=2xlnx-ax且函數(shù)f（x）與g（x）在x=1處的切線平行．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）在（1，g（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）-f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出a的值，從而求出切線方程即可；
（Ⅱ）先把已知等式轉(zhuǎn)化為a≤x+2lnx+$\frac{3}{x}$，設(shè)g（x）=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，x∈（0，+∞），對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值，只要a小于或等于最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-2x，
故k=f′（1）=-2，
而g′（x）=2（lnx+1）-a，故g′（1）=2-a，
故2-a=-2，解得：a=4，
故g（1）=-a=-4，
故g（x）的切線方程是：y+4=-2（x-1），
即2x+y+2=0；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）-f（x）≥0恒成立，
等價(jià)于a≤x+2lnx+$\frac{3}{x}$，
令g（x）=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，x∈（0，+∞），
g′（x）=1+$\frac{2}{x}$-$\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)減，
當(dāng)x=1時(shí)，g′（x）=0，
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)增，
∴g（x）_min=g（1）=4，
∴a≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)函數(shù)求最值的問(wèn)題．考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和靈活運(yùn)用．