Question

19．已知函數(shù)$f（x）=ax+\frac{x}$（其中a，b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過（1，2），$（{2\;，\;\;\frac{5}{2}}）$兩點．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）證明函數(shù)f（x）在（1，+∞）是增函數(shù)；
（3）若不等式$\frac{{{{25}^m}}}{3}-{5^m}≥f（x）$對任意$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;\;3}]$恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把已知兩點的坐標代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于a，b的方程組，求解a，b即可得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在（1，+∞）是增函數(shù)；
（3）由（Ⅱ）知，函數(shù)f（x）在[1，3]上為增函數(shù)，可證f（x）在$[{\frac{1}{2}\;，\;\;1}）$上是減函數(shù)．求出f（x）在給定區(qū)間上的最大值，由$\frac{2{5}^{m}}{3}-{5}^{m}$大于等于f（x）在給定區(qū)間上的最大值得答案．

解答 （1）解：由題意得，$\left\{\begin{array}{l}a+b=2\;，\;\;\\ 2a+\frac{2}=\frac{5}{2}\;．\;\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\;，\;\;\\ b=1\;．\;\end{array}\right.$
∴函數(shù)的解析式為$f（x）=x+\frac{1}{x}$．…（2分）
（2）證明：設x₁，x₂是（1，+∞）上的任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，…（3分）
于是$f（{x_2}）-f（{x_1}）=（{{x_2}+\frac{1}{x_2}}）-（{{x_1}+\frac{1}{x_1}}）$=${x_2}-{x_1}+\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}={x_2}-{x_1}+\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{（{{x_2}-{x_1}}）（{x_1}{x_2}-1）}}{{{x_1}{x_2}}}$．…（4分）
∵x₁，x₂∈（1，+∞），
∴x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0．
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0．
∴f（x₂）-f（x₁）＞0．…（5分）
即f（x₂）＞f（x₁）．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．…（6分）
（3）解：由（Ⅱ）知，函數(shù)f（x）在[1，3]上為增函數(shù)，
同理可證f（x）在$[{\frac{1}{2}\;，\;\;1}）$上是減函數(shù)．…（7分）
∴函數(shù)$f{（x）_{max}}=max\left\{{f（{\frac{1}{2}}）\;，\;\;f（3）}\right\}=\frac{10}{3}$．
不等式$\frac{{{{25}^m}}}{3}-{5^m}≥f（x）$對任意$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;\;3}]$恒成立，
等價于$\frac{{{{25}^m}}}{3}-{5^m}≥f{（x）_{max}}=\frac{10}{3}$．…（8分）
于是（5^m）²-3×5^m-10≥0，
即（5^m-5）（5^m+2）≥0，
∵5^m+2＞0，∴5^m-5≥0．
∴m≥1．
∴實數(shù)m的取值范圍是[1，+∞）．…（10分）

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，訓練了利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題．