Question

2．若橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$的弦被點（4，2）平分，求這條弦所在的直線方程．

Answer 1

分析 判斷弦所在直線與橢圓相交，設(shè)弦的端點為（x₁，y₁），（x₂，y₂），代入橢圓方程，相減，結(jié)合中點坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，可得斜率，再由點斜式方程即可得到所求．

解答 解：把（4，2）代入橢圓方程，可得$\frac{16}{36}$+$\frac{4}{9}$＜1，
即有弦所在直線與橢圓相交，
設(shè)弦的端點為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
即有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{36}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{9}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{36}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}$=1，
相減可得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{36}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{9}$=0，
由題意可得x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，
可得弦所在直線的斜率為k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{1}{2}$，
則弦所在直線的方程為y-2=-$\frac{1}{2}$（x-4），
即有x+2y-8=0．

點評 本題考查直線的方程的求法，注意運用點差法，以及中點坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，考查運算能力，屬于中檔題．