Question

7．甲、乙兩人投籃命中的概率為別為$\frac{2}{3}$與$\frac{1}{2}$，各自相互獨(dú)立，現(xiàn)兩人做投籃游戲，共比賽3局，每局每人各投一球．
（1）求比賽結(jié)束后甲的進(jìn)球數(shù)比乙的進(jìn)球數(shù)多1個(gè)的概率；
（2）設(shè)ξ表示比賽結(jié)束后，甲、乙兩人進(jìn)球數(shù)的差的絕對(duì)值，求ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）比賽結(jié)束后甲的進(jìn)球數(shù)比乙的進(jìn)球數(shù)多1個(gè)，有以下幾種情況：甲進(jìn)1球，乙進(jìn)0球；甲進(jìn)2球，乙進(jìn)1球；甲進(jìn)3球，乙進(jìn)2球．由此能求出比賽結(jié)束后甲的進(jìn)球數(shù)比乙的進(jìn)球數(shù)多1個(gè)的概率．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）比賽結(jié)束后甲的進(jìn)球數(shù)比乙的進(jìn)球數(shù)多1個(gè)，有以下幾種情況：
甲進(jìn)1球，乙進(jìn)0球；甲進(jìn)2球，乙進(jìn)1球；甲進(jìn)3球，乙進(jìn)2球．
比賽結(jié)束后甲的進(jìn)球數(shù)比乙的進(jìn)球數(shù)多1個(gè)的概率：
p=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}{C}_{3}^{0}（\frac{1}{2}）^{3}$+${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）{C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{2}$+${C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}{C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）$=$\frac{11}{36}$．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{3}）^{3}{C}_{3}^{0}（\frac{1}{2}）^{3}$+${C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}{C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{2}$+${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）{C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）$+${C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}{C}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{63}{216}$=$\frac{7}{24}$，
P（ξ=1）=$\frac{11}{36}$+${C}_{3}^{0}（\frac{1}{3}）^{3}{C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{2}$+${C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}{C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）$+${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）{C}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{11}{24}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}{C}_{3}^{0}（\frac{1}{2}）^{3}+{C}_{3}^{0}（\frac{1}{3}）^{3}{C}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{24}$，
P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=1-$\frac{7}{24}-\frac{11}{24}-\frac{1}{24}$=$\frac{5}{24}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{7}{24}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{1}{24}$

Eξ=$0×\frac{7}{24}+1×\frac{11}{24}+2×\frac{5}{24}+3×\frac{1}{24}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．