Question

14．對某產(chǎn)品1至6月份銷售量及其價格進(jìn)行調(diào)查，其售價x和銷售量y之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：

月份i	1	2	3	4	5	6
單價xi（元）	9	9.5	10	10.5	11	8
銷售量yi（件）	11	10	8	6	5	14

（Ⅰ）根據(jù)1至5月份的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸直線方程；
（Ⅱ）若由回歸直線方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與剩下的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過0.5元，則認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的，試問所得回歸直線方程是否理想？
（Ⅲ）預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷售量與單價仍然服從（Ⅰ）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是2.5元/件，為獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？（利潤=銷售收入-成本）．
參考公式：回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$，其中$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$．參考數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}=392}$，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}=502.5$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)回歸系數(shù)公式計(jì)算回歸系數(shù)；
（2）利用回歸方程計(jì)算x=8時的估計(jì)值，計(jì)算誤差得出結(jié)論；
（3）求出利潤的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出利潤取最值時的x．

解答 解：（Ⅰ）由題意知$\overline{x}=\frac{1}{5}×（9+9.5+10+10.5+11）$=10，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}×（11+10+8+6+5）$=8，
$\stackrel{∧}$=$\frac{392-5×10×8}{502.5-5×1{0}^{2}}=-3.2$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}-$$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=40．
∴y關(guān)于x的回歸直線方程是$\stackrel{∧}{y}$=-3.2x+40．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x=8時，$\stackrel{∧}{y}$=-3.2×8+40=14.4．
$\stackrel{∧}{y}$-y=14.4-14=0.4＜0.5．
∴可認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的．
（Ⅲ）依題意得，利潤L=（x-2.5）•（-3.2x+40）=-3.2x²+48x-100（2.5＜x＜12.5）．
當(dāng)$x=-\frac{48}{2×（-3.2）}=7.5$時，L取得最大值．
即該產(chǎn)品的單價定為7.5元時，利潤最大．

點(diǎn)評 本題考查了線性回歸方程的解法，數(shù)值估計(jì)，二次函數(shù)的最值，屬于中檔題．