Question

1．已知函數$f（x）=cos（{2π-ωx}）+\sqrt{3}cos（{\frac{π}{2}+ωx}）（{x∈R，ω＞0}）$滿足f（m）=-2，f（n）=2，且|m-n|的最小值為$\frac{π}{2}$．
（1）求ω的值，并求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）將函數f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位得到函數g（x）的圖象，已知a為△ABC中角A的對邊，若g（A）=1，a=4，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的單調性，求得函數f（x）的單調遞增區(qū)間．
（2）根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，由g（A）=1求得A的值，再利用余弦定理、基本不等式求得bc的最大值，可得△ABC面積的最大值．

解答 解：（1）∵$f（x）=cosωx-\sqrt{3}sinωx=2cos（ωx+\frac{π}{3}）$，f（m）=-2，f（n）=2，且|m-n|的最小值為$\frac{π}{2}$．
∴T=π，即$\frac{2π}{ω}=π，ω=2$，即$f（x）=2cos（2x+\frac{π}{3}）$．
而f（x）在$2x+\frac{π}{3}∈[2kπ-π，2kπ]，k∈Z$上單調遞增，求得x∈$[kπ-\frac{2π}{3}，kπ-\frac{π}{6}]，k∈Z$，
所以函數f（x）的單調遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{2π}{3}，kπ-\frac{π}{6}]，k∈Z$．
（2）由題意可得，$g（x）=2cos[2（x-\frac{π}{3}）+\frac{π}{3}]=2cos（2x-\frac{π}{3}）$，
由g（A）=1可得，$2cos（2A-\frac{π}{3}）=1$，而A∈（0，π），可得，$A=\frac{π}{3}$．
由余弦定理得：b²+c²-16=2bccosA=bc，
即bc+16=b²+c²≥2bc，求得bc≤16，當且僅當b=c時“=”成立，
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc≤4\sqrt{3}$，故三角形面積的最大值為$4\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的單調性，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦定理、基本不等式，屬于中檔題．