Question

14．如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點M是棱BC的中點，DM=2$\sqrt{2}$

（I）求證：OD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直線MD與平面ABD所成角的正弦．

Answer 1

分析 （Ⅰ）只需證明OD⊥AC，DO⊥OM，即可證得OD⊥面ABC．
（Ⅱ）設M到平面ABD的距離為h，直線MD與平面ABD所成的角為α
由V_M-ADB=V_D-ABM求出h，即sin$α=\frac{h}{MD}$即可

解答 解：（Ⅰ）證明：∵ABCD是菱形，AD=DC，OD⊥AC …（1分）
△ADC中，AD=DC=4，∠ADC=120°，∴OD=2，
又M是DC中點，$OM=OD=2，DM=2\sqrt{2}$，∵OD²+OM²=MD²，∴DO⊥OM…（4分）
OM，AC?面ABC，OM∩AC=0，∴OD⊥面ABC …（6分）
（Ⅱ）△ABM中，AB=4，BM=2，∠ABM=120°
s_△ABM=$\frac{1}{2}AB•BM•sin12{0}^{0}$=2$\sqrt{3}$
由（Ⅰ）得OD⊥面ABC
∴V_M-ADB=V_D-ABM=$\frac{1}{3}OD•{s}_{△ABM}$=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}…（8分）$．
設M到平面ABD的距離為h，直線MD與平面ABD所成的角為α．
∵$AB=4，AD=4，可知BD=2\sqrt{2}$，∴A到DB的距離d=$\sqrt{{4}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{14}$．
∴${s}_{△ADB}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{14}=2\sqrt{7}$
∴V_M-ADB=$\frac{1}{3}{s}_{ADB}×h$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{7}×h=\frac{4\sqrt{3}}{3}$
∴$h=\frac{2\sqrt{21}}{7}$，即sin$α=\frac{h}{MD}$=$\frac{\sqrt{42}}{14}$
∴直線MD與平面ABD所成角的正弦為$\frac{\sqrt{42}}{14}$．

點評 本題考查了空間線面垂直的判定，幾何法求線面角，等體積法求點面距離，屬于中檔題．