Question

【題目】已知橢圓：（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)E（，1），其左、右頂點(diǎn)分別為A，B，左、右焦點(diǎn)為F1，F2，其中F1（，0）．

（1）求橢圓C的方程：

（2）設(shè)M（x0，y0）為橢圓C上異于A，B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，MN⊥AB于點(diǎn)N，直線(xiàn)l：x0x+2y0y﹣4＝0，設(shè)過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線(xiàn)與直線(xiàn)l交于點(diǎn)P，證明：直線(xiàn)BP經(jīng)過(guò)線(xiàn)段MN的中點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明詳見(jiàn)解析．

【解析】

（1）根據(jù)橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為2a，可求出a，已知焦點(diǎn)坐標(biāo)，可知c，可求方程．

（2）根據(jù)題意求出ABP的坐標(biāo)，求PB直線(xiàn)方程，求出點(diǎn)N坐標(biāo)，求出其中點(diǎn)，可代入判斷在直線(xiàn)PB上．

（1）由題意知，2a＝|EF1|+|EF2|4，

則a＝2，c，b，

故橢圓的方程為，

（2）由（1）知A（﹣2,0），B（2,0），

過(guò)點(diǎn)A且與x軸垂直的直線(xiàn)的方程為x＝﹣2，

結(jié)合方程x0x+2y0y﹣4＝0，得點(diǎn)P（﹣2,），

直線(xiàn)PB的斜率為，

直線(xiàn)PB的方程為，

因?yàn)?/span>MN⊥AB于點(diǎn)N，所以N（x0,0），線(xiàn)段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)（），

令x＝x0，得，

因?yàn)?/span>，所以，

即直線(xiàn)BP經(jīng)過(guò)線(xiàn)段MN的中點(diǎn)．