Question

某專賣店經(jīng)市場調(diào)查得知，一種商品的月銷售量Q（單位：噸）與銷售價(jià)格x（單位：萬元/噸）的關(guān)系可用下圖的一條折線表示．
（1）寫出月銷售量Q關(guān)于銷售價(jià)格x的函數(shù)關(guān)系；
（2）如果該商品的進(jìn)價(jià)為5萬元/噸，除去進(jìn)貨成本外，專賣店銷售該商品每月的固定成本為10萬元，問該商品每噸定價(jià)多少萬元時(shí)，銷售該商品的月利潤最大？并求月利潤的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象為分段函的圖象，所以應(yīng)求5≤x≤8，與8＜x≤12兩部分的解析式，由圖象上的點(diǎn)分別代入Q=ax+b，求出即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的最值問題分段求得最值，最后綜合可以求出f（x）的最值即可．

解答：解：（1）由題設(shè)知，當(dāng)5≤x≤8時(shí)，設(shè)Q=ax+b，
則

5a+b=12.5 8a+b=5

，∴

a=- 5 2 b=25

∴Q=-

5

2

x+25，
同理得，當(dāng)8＜x≤12時(shí)，Q=-x+13，…（4分）
所以Q=

- 5 2 x+25   5≤x≤8 -x+13      8＜x≤12

…（6分）
（2）月利潤為f（x）=Q•（x-5）-10．
由（1）可知，f（x）=

(- 5 2 x-25)(x-5)-10   ，5≤x≤8 (-x+13)(x-5)-10        ，8＜x≤12

，
即

- 5 2 (x- 15 2 )2+ 45 8  ，5≤ x≤8 -(x-9)2+6   ，8＜x≤12

…（9分）
所以當(dāng)x∈[5，8]時(shí)，x=

15

2

，f（x）_最大=

45

8

；
當(dāng)x∈（8，12]時(shí)，x=9，f（x）_最大=6．
所以當(dāng)x=9時(shí)，f（x）取得最大值6．
答：該商品每噸定價(jià)為9萬元時(shí)，銷售該商品的月利潤最大，最大利潤為6萬元．…（14分）

點(diǎn)評：此題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用與二次函數(shù)的最值問題，題目比較簡單，注意分段函數(shù)解析式的求法是解決問題的關(guān)鍵．