【題目】已知函數(shù).

I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

II)若上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

III)在(II)的條件下,對任意的,求證:.

【答案】I)當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增,無單調(diào)遞減區(qū)間,當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;(II;(III)證明見解析.

【解析】試題分析:(I)利用時(shí)為單調(diào)增函數(shù),時(shí)為單調(diào)減函數(shù)這一性質(zhì)來分情況討論題中單調(diào)區(qū)間問題;(II)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與最值,若上恒成立,則函數(shù)的最大值小于或等于零.當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增,,說明時(shí),不合題意舍去.當(dāng)時(shí),的最大值小于零.上恒成立,所以只能等于零.即可求得答案;(III)首先將的表達(dá)式表達(dá)出來,化簡轉(zhuǎn)化為的形式,再根據(jù)(II)的結(jié)論得到,后逐步化簡,原命題得證.

試題解析:(I

當(dāng)時(shí),恒成立,則函數(shù)上單調(diào)遞增,無單調(diào)遞減區(qū)間;

當(dāng)時(shí),由,得,由

,此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.

II)由(I)知:當(dāng)時(shí),上遞增,,顯然不成立;

當(dāng)時(shí),,只需即可,

,則,

上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

.

恒成立,也就是恒成立,

,解得,上恒成立,則.

(III)證明:,

由(II)得上恒成立,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,

又由,所以有,即.

,

則原不等式成立. ………12分)

練習(xí)冊系列答案
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為, 為參數(shù)),在以為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線是圓心在極軸上,且經(jīng)過極點(diǎn)的圓.已知曲線上的點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù),射線與曲線交于點(diǎn).

(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)若點(diǎn), 在曲線上,求的值.

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【題目】菜農(nóng)定期使用低害殺蟲農(nóng)藥對蔬菜進(jìn)行噴灑,以防止害蟲的危害,但采集上市時(shí)蔬菜仍存有少量的殘留農(nóng)藥,食用時(shí)需要用清水清洗干凈,下表是用清水(單位:千克)清洗該蔬菜1千克后,蔬菜上殘留的農(nóng)藥(單位:微克)的統(tǒng)計(jì)表:

(1)令,利用給出的參考數(shù)據(jù)求出關(guān)于的回歸方程.(精確到0.1)

參考數(shù)據(jù):,,

其中

(2)對于某種殘留在蔬菜上的農(nóng)藥,當(dāng)它的殘留量不高于20微克時(shí)對人體無害,為了放心食用該蔬菜,請估計(jì)至少需用用多少千克的清水清洗1千克蔬菜?(精確到0.1,參考數(shù)據(jù)

附:對于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

.

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【題目】已知函數(shù), ,( 為常數(shù))

(1)若處的切線方程為為常數(shù)),求的值;

(2)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若存在唯一的實(shí)數(shù),使得同時(shí)成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)令,若函數(shù)存在極值,且所有極值之和大于,求的取值范圍.

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【題目】“一帶一路”國際合作高峰論壇圓滿落幕了,相關(guān)話題在網(wǎng)絡(luò)上引起了網(wǎng)友們的高度關(guān)注,為此,21財(cái)經(jīng)APP聯(lián)合UC推出“一帶一路”大數(shù)據(jù)微報(bào)告,在全國抽取的70千萬網(wǎng)民中(其中為高學(xué)歷)有20千萬人對此關(guān)注(其中為高學(xué)歷).

(1)根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面列聯(lián)表;

(2)根據(jù)列聯(lián)表,用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法分析,能否有的把握認(rèn)為“一帶一路”的關(guān)注度與學(xué)歷有關(guān)系?

高學(xué)歷(千萬人)

不是高學(xué)歷(千萬人)

合計(jì)

關(guān)注

不關(guān)注

合計(jì)

參考公式: 統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式是,

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1)寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;

2)設(shè)點(diǎn)上,點(diǎn)上,求的最小值.

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【題目】4月16日摩拜單車進(jìn)駐大連市旅順口區(qū),綠色出行引領(lǐng)時(shí)尚,旅順口區(qū)對市民進(jìn)行“經(jīng)常使用共享單車與年齡關(guān)系”的調(diào)查統(tǒng)計(jì),若將單車用戶按照年齡分為“年輕人”(20歲~39歲)和“非年輕人”(19歲及以下或者40歲及以上)兩類,抽取一個(gè)容量為200的樣本,將一周內(nèi)使用的次數(shù)為6次或6次以上的稱為“經(jīng)常使用單車用戶”。使用次數(shù)為5次或不足5次的稱為“不常使用單車用戶”,已知“經(jīng)常使用單車用戶”有120人,其中是“年輕人”,已知“不常使用單車用戶”中有是“年輕人”.

(1)請你根據(jù)已知的數(shù)據(jù),填寫下列列聯(lián)表:

年輕人

非年輕人

合計(jì)

經(jīng)常使用單車用戶

不常使用單車用戶

合計(jì)

(2)請根據(jù)(1)中的列聯(lián)表,計(jì)算值并判斷能否有的把握認(rèn)為經(jīng)常使用共享單車與年齡有關(guān)?

(附:

當(dāng)時(shí),有的把握說事件有關(guān);當(dāng)時(shí),有的把握說事件有關(guān);當(dāng)時(shí),認(rèn)為事件是無關(guān)的)

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【題目】某研究性學(xué)習(xí)小組對春季晝夜溫差大小與某花卉種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行研究,他們分別記錄了3月1日至3月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù),得到如下資料:

日期

3月1日

3月2日

3月3日

3月4日

3月5日

溫差(℃)

10

11

13

12

8

發(fā)芽數(shù)(顆)

23

25

30

26

16

(1)從3月1日至3月5日中任選2天,記發(fā)芽的種子數(shù)分別為,求事件“均小于25”的概率;

(2)請根據(jù)3月2日至3月4日的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;

(3)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(2)所得的線性回歸方程是否可靠?

(參考公式:回歸直線方程為,其中,

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