Question

3．設(shè)P，Q分別是圓x²+（y-1）²=3和橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$上的點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間的最大距離是$\frac{7\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 圓心C（0，1）到橢圓上的點(diǎn)Q（2cosα，sinα）（α∈[0，2π））的距離d=$\sqrt{（2cosα）^{2}+（sinα-1）^{2}}$=$\sqrt{\frac{16}{3}-3（sinα+\frac{1}{3}）^{2}}$，可得P，Q兩點(diǎn)間的最大距離是d_max+r．

解答 解：圓心C（0，1）到橢圓上的點(diǎn)Q（2cosα，sinα）（α∈[0，2π））的距離d=$\sqrt{（2cosα）^{2}+（sinα-1）^{2}}$=$\sqrt{\frac{16}{3}-3（sinα+\frac{1}{3}）^{2}}$≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)$sinα=-\frac{1}{3}$時取等號．
∴P，Q兩點(diǎn)間的最大距離是d+r=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+$\sqrt{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{7\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．