Question

已知點（1，2）是函數f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象上一點，數列{a_n}的前n項和S_n=f（n）-1，數列{b_n}滿足b_n=log_aa_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{a_nb_n}的前n項和T_n；
（Ⅲ）若cn=(bn+1)•(

10

11

)n，數列c_n有沒有最大值？如果有，求出最大值；如果沒有，說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意由于已知點（1，2）是函數f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象上一點，所以可以先代入求出a的值，再有數列{a_n}的前n項和S_n=f（n）-1，先求出函數S_n的解析式，再有數列的前n項和利用公式求出數列{a_n}的通項公式；
（II）由于數列{b_n}滿足b_n=log_aa_n+1（n∈N^*），由（1）可以知道b_n=n，所以a_nb_n=n•2^n-1，由該通項公式的特點可以選擇錯位相減法求出其前n項的和；
（III）由（II）及cn=(bn+1)•(

10

11

)n，可以利用假設數列c_n有最大值，利用最大值的定義即可以得到．

解答：解：（Ⅰ）把（1，2）代入函數f（x）=a^x，得a=2，
所以數列{a_n}的n項和為S_n=f（n）-1=2ⁿ-1，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
當n=1時，a₁=1也適合，∴a_n=2^n-1；
（Ⅱ）由a=2，  bn=

log

an+1 a

得b_n=n，所以a_nb_n=n•2^n-1，
∴T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1①
  2T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ ②
由①-②得-T_n=2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=

2n-1

2-1

-n•2n=2n-1-n•2n
所以T_n=（n-1）2ⁿ+1；
（Ⅲ）cn=(n+1)•(

10

11

)n∵cn+1-cn=（n+2）(

10

11

)n+1-(n+1)•(

10

11

)n=(

10

11

)n•

9-n

11

．
當n＜9時，c_n+1-c_n＞0，即c_n+1＞c_n；當n=9時，c_n+1-c_n=0，即c_n+1=c_n；
當n＞9時，c_n+1-c_n＜0，即c_n+1＜c_n．故，
故數列中有最大值為第9、10項c9=c10=

1010

119

．

點評：此題考查了利用條件解出方程，還考查了已知數列的前n項和求其通項，及利用數列的通項公式的特點選擇錯位相減法求出數列的前n項和，并且還考查了利用數列的最大項的定義求出數列的最大項，同時還考查了數列的計算能力．