Question

（本小題滿(mǎn)分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且圓心在曲線(xiàn)上.

（Ⅰ）若圓M分別與軸、軸交于點(diǎn)、（不同于原點(diǎn)O），求證：的面積為定值；

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)與圓M 交于不同的兩點(diǎn)C，D，且，求圓M的方程；

（Ⅲ）設(shè)直線(xiàn)與（Ⅱ）中所求圓M交于點(diǎn)、， 為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)，與圓M的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題意可設(shè)圓M的方程為，求出圓M分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用面積公式，可得：△AOB的面積為定值；

（Ⅱ）由|OC|=|OD|，知OM⊥l，解得t=±1，再驗(yàn)證，即可求圓M的方程；

（Ⅲ）設(shè)，整理得．①設(shè)直線(xiàn)GH的方程為，代入，利用韋達(dá)定理，確定直線(xiàn)方程，即可得出結(jié)論．

試題解析：（Ⅰ）由題意可設(shè)圓M的方程為，

即.

令，得；令，得.

（定值）.

（Ⅱ）由，知.

所以，解得.

當(dāng)時(shí)，圓心M到直線(xiàn)的距離小于半徑，符合題意；

當(dāng)時(shí)，圓心M到直線(xiàn)的距離大于半徑，不符合題意.

所以，所求圓M的方程為.

（Ⅲ）設(shè)，，，又知，，

所以，

.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031106033109256817/SYS201503110603382647532757_DA/SYS201503110603382647532757_DA.034.png">，所以.

將，代入上式，

整理得. ①

設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入，

整理得.

所以，.

代入①式，并整理得，

即，

解得或.

當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，過(guò)定點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，過(guò)定點(diǎn)

考點(diǎn)：圓的方程；直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；分析思考能力和計(jì)算能力.