在四面體ABCD中，已知DA=DB=DC=1，且DA、DB、DC兩兩互相垂直，在該四面體表面上與點A距離為 $數學公式$ 的點形成一條曲線，則這條曲線的長度是

A.
$數學公式$
B.
$數學公式$
C.
$數學公式$
D.
$數學公式$

D
分析：先求出DG、DH的長，利用直角三角形中的邊角關系求出∠DAG、∠DAH，得到∠CAG=∠HAB 的大小，弧長公式求得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 、以及 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的大小，這條曲線的長度是 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．
解答：

解：如圖勾股定理求出DG= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =DH，
tan∠DAG= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴∠DAG= $\text{[math]}$ =∠DAH，
∴∠CAG=∠HAB= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴由弧長公式得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴這條曲線的長度是 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故答案為 $\text{[math]}$ ，
故選D．
點評：本題考查直角三角形中的邊角關系，弧長公式的應用．本題中這條曲線是以A為球心，以 $\text{[math]}$ 為半徑的球與四面體表面的交線．

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