【題目】已知函數(shù),其中.
(I)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若R上有兩個不同的零點,且,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(I)見解析(Ⅱ).
【解析】
(I)求導(dǎo)得,討論和即可解得單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)要使得R上有兩個不同的零點,且,由(I)可知取得極小值,極小值小于0,可解得.借助引理1:;引理2:證明存在,使.,使.即證得符合題意.
(I).
當(dāng)時,,在R上單調(diào)遞減;
當(dāng)時,由解得,
當(dāng)時,,
當(dāng)時,,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
綜上,時,在R上單調(diào)遞減;
時在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
(Ⅱ)引理1:.
證明:令,
則,,
在上單調(diào)遞增,又,
.在上單調(diào)遞增,
又,.
引理2:.
證明:.
令,
則,在上單調(diào)遞減.
,故得證.
下求實數(shù)的取值范圍.由(1)知要使有兩個零點,,
此時,.
令,解得.
又,,使.
由引理1和引理2知:
,.
使
.
,使.
綜上:.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,圖中直棱柱的底面是菱形,其中.又點分別在棱上運動,且滿足:,.
(1)求證:四點共面,并證明∥平面.
(2)是否存在點使得二面角的余弦值為?如果存在,求出的長;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線和圓,傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點,且與圓相切.
(1)求的值;
(2)動點在拋物線的準(zhǔn)線上,動點在上,若在點處的切線交軸于點,設(shè).求證點在定直線上,并求該定直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了了解學(xué)生對《3.12植樹節(jié)》活動節(jié)日的相關(guān)內(nèi)容,學(xué)校進行了一次10道題的問卷調(diào)查,從該校學(xué)生中隨機抽取50人,統(tǒng)計了每人答對的題數(shù),將統(tǒng)計結(jié)果分成,,,,五組,得到如下頻率分布直方圖.
(1)若答對一題得10分,答錯和未答不得分,估計這50名學(xué)生成績的平均分;
(2)若從答對題數(shù)在內(nèi)的學(xué)生中隨機抽取2人,求恰有1人答對題數(shù)在內(nèi)的概率.
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【題目】已知函數(shù).(為自然對數(shù)的底數(shù))
(1)當(dāng)時,求在處的切線方程,并討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,,求整數(shù)的最大值.
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【題目】四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,,,二面角S-BD-C的余弦值為.
(I)證明:平面平面SBD;
(Ⅱ)求二面角A-SD-C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(I)當(dāng)a=-1時,
①求曲線y= f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
②求函數(shù)f(x)的最小值;
(II)求證:當(dāng)時,曲線與有且只有一個交點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為,曲線C2的直角坐標(biāo)方程為.
(1)若直線l與曲線C1交于M、N兩點,求線段MN的長度;
(2)若直線l與x軸,y軸分別交于A、B兩點,點P在曲線C2上,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐P-ABCD,四邊形ABCD是邊長為3的正方形,平面平面,于點O,,點E在棱PB上,.
(1)當(dāng)時,求直線AE與平面PCD所成角的正弦值;
(2)若二面角B-PC-D的余弦值為,求PO的長.
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