Question

7．某公司的廣告費支出x與銷售額y（單位：萬元）之間有下列對應(yīng)數(shù)據(jù)

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70

回歸方程為$\hat y$=bx+a，其中b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline y$-b$\overline x$．
（1）畫出散點圖，并判斷廣告費與銷售額是否具有相關(guān)關(guān)系；
（2）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出y與x的回歸方程$\hat y$=bx+a；
（3）預(yù)測銷售額為115萬元時，大約需要多少萬元廣告費．

Answer 1

分析 （1）散點圖如圖：由圖可判斷：廣告費與銷售額具有相關(guān)關(guān)系．
（2）先求出$\overline{x}$、$\overline{y}$的值，可得 $\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}$ 和$\sum_{i=1}^5{x_i^2}$  的值，從而求得 $b=\frac{{\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^5{x_i^2-n\overline{x^2}}}}$和，$a=\overline y-b\overline x$的值，從而求得線性回歸方程．
（3）在回歸方程中，令y=115，求得x的值，可得結(jié)論．

解答 解：（1）散點圖如圖：由圖可判斷：廣告費與銷售額具有相關(guān)關(guān)系．
（2）∵$\overline x=\frac{1}{5}（2+4+5+6+8）=5$，$\overline y=\frac{1}{5}（30+40+60+50+70）=50$，
∴$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}$=2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}$=2²+4²+5²+6²+8²=145，
∴$b=\frac{{\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^5{x_i^2-n\overline{x^2}}}}$=$\frac{1380-5×5×50}{{145-5×{5^2}}}$=6.5，$a=\overline y-b\overline x$=50-6.5×5=17.5，
∴線性回歸方程為 y=6.5x+17.5．
（3）令y=115，可得6.5×x+17.5=115，求得x=15，故預(yù)測銷售額為115萬元時，
大約需要15萬元廣告費．

點評 本題主要考查線性回歸問題，求回歸直線的方程，以及回歸方程的應(yīng)用，屬于中檔題．