Question

2．已知函數(shù)f（x）=x-1+$\frac{a}{{e}^{x}}$（x∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx-1與曲線y=f（x）沒有公共點(diǎn)，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）無(wú)極值；當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0，得e^x=a，x=lna，求得單調(diào)區(qū)間，可得f（x）在x=lna處取到極小值，且極小值為f（lna）=lna，無(wú)極大值；
（2）令g（x）=f（x）-（kx-1）=（1-k）x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，則直線l：y=kx-1與曲線y=f（x）沒有公共點(diǎn)?方程g（x）=0在R上沒有實(shí)數(shù)解，分k＞1與k≤1討論即可得答案．

解答 解：（1）由f（x）=x-1+$\frac{a}{{e}^{x}}$，可得導(dǎo)數(shù)f′（x）=1-$\frac{a}{{e}^{x}}$，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，
f（x）為（-∞，+∞）上的增函數(shù)，則f（x）無(wú)極值；
②當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0，得e^x=a，即x=lna，
x∈（-∞，lna），f′（x）＜0，x∈（lna，+∞），f′（x）＞0，
即有f（x）在∈（-∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，
故f（x）在x=lna處取到極小值，且極小值為f（lna）=lna，無(wú)極大值．
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）無(wú)極值；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在x=lna處取到極小值lna，無(wú)極大值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$，
令g（x）=f（x）-（kx-1）=（1-k）x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，
則直線l：y=kx-1與曲線y=f（x）沒有公共點(diǎn)，
等價(jià)于方程g（x）=0在R上沒有實(shí)數(shù)解．
假設(shè)k＞1，此時(shí)g（0）=1＞0，g（$\frac{1}{k-1}$）=-1+$\frac{1}{{e}^{\frac{1}{k-1}}}$＜0，
又函數(shù)g（x）的圖象連續(xù)不斷，由零點(diǎn)存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，
與“方程g（x）=0在R上沒有實(shí)數(shù)解”矛盾，故k≤1．
又k=1時(shí)，g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$＞0，知方程g（x）=0在R上沒有實(shí)數(shù)解，
所以k的最大值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，注意運(yùn)用零點(diǎn)存在定理，突出分類討論思想的運(yùn)用，屬于中檔題．