Question

現有下列命題：
①設a，b為正實數，若a²-b²=1，則a-b＜1；
②已知的最小值為16；
③數列；
④設函數，則關于x的方程f²（x）+2f（x）=0有4個解．
⑤若，則siny-cos²x的最大值是．
其中的真命題有________．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

①②③
分析：①將a²-b²=1，分解變形為（a+1）（a-1）=b²，即可證明a-1＜b，即a-b＜1；
②先利用基本不等式求得2b（a-b）范圍，進而代入原式，進一步利用基本不等式求得問題答案．
③求數列的最大值，可通過做差或做商比較法判斷數列的單調性處理．
④題中原方程f²（x）+2f（x）=0有多少個不同實數解，即要求對應于f（x）=0和f（x）=-2有幾個不同實數解，故先根據題意作出f（x）的簡圖：由圖可知，當f（x）=0時，它有三個根，當f（x）=-2時，它有二個根．故關于x的方程f²（x）+2f（x）=0有且只有5個不同實數解．
⑤由題意得siny=-sinx，且-1≤-sinx≤1，得到sinx的取值范圍，把所求的式子配方利用二次函數的性質求出其最大值．
解答：①若a²-b²=1，則a²-1=b²，即（a+1）（a-1）=b²，
∵a+1＞a-1，∴a-1＜b，即a-b＜1，①正確；
②：∵2b（a-2b）≤（）²=，
∴a²+≥a²+≥16．
當且僅當2b=a-2b時取等號．②正確；
③：a_n=n（n+4）（ ）ⁿ
則 ==×≥1
則2（n+1）（n+5）≥3n（n+4），即n²≤10，所以n＜4，
即n＜4時，a_n+1＞a_n，
當n≥4時，a_n+1＜a_n，
所以a₄最大．③正確；
④：∵題中原方程f²（x）+2f（x）=0有幾個不同實數解，
∴即要求對應于f（x）=0和f（x）=-2有幾個不同實數解，
故先根據題意作出f（x）的簡圖，如圖，
由圖可知，當f（x）=0時，它有三個根，當f（x）=-2時，它有二個根．關于x的方程f²（x）+2f（x）=0有5個解．④不正確；
⑤：∵sinx+siny=，∴siny=-sinx，
∵-1≤-sinx≤1，∴-≤sinx≤1，
∴siny-cos²x=-sinx-（1-sin²x）
=（sinx-）2-，∴sinx=- 時，siny-cos²x的最大值為（--）2-=，⑤不正確．
故答案為：①②③．
點評：本題主要考查了命題的真假判斷與應用，考查了基本不等式在最值問題中的應用、同角三角函數的基本關系，正弦函數的有界性，二次函數的性質等等．