Question

8．已知函數(shù)$f（x）=asinxcosx+\sqrt{3}a{cos^2}x$，（a為常數(shù)且a＞0）．
（1）若函數(shù)的定義域為$[{0，\frac{π}{2}}]$，值域為$[{0，（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}+1}）}]$，求a的值；
（2）在（1）的條件下，定義區(qū)間（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的長度為n-m，其中n＞m，若不等式f（x）+b＞0，x∈[0，π]的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和超過$\frac{π}{3}$，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=a[$\frac{\sqrt{3}}{2}$+sin（2x+$\frac{π}{3}$）]，由已知函數(shù)的值域可得a值．
（2）由題意可得$sin（{2x+\frac{π}{3}}）＞-b-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$要使解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和超過$\frac{π}{3}$，需$-b-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤\frac{1}{2}$，解不等式可得．

解答 解：（1）由三角函數(shù)公式化簡可得：
f（x）=a（sinxcosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）
=a（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）
=a[$\frac{\sqrt{3}}{2}$+sin（2x+$\frac{π}{3}$）]，
∵x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$+sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[0，1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∵由已知可得函數(shù)值域為$[{0，（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}+1}）}]$，
∴a=1；
（2）由題意可得$\frac{{\sqrt{3}}}{2}+sin（{2x+\frac{π}{3}}）+b＞0$，即$sin（{2x+\frac{π}{3}}）＞-b-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
要使解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和超過$\frac{π}{3}$，需$-b-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤\frac{1}{2}$，解得$b≥-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換和三角函數(shù)的值域，屬中檔題．