Question

18．函數(shù)f（x）=2sin$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$cosx的最小正周期為4π．

Answer 1

分析 根據(jù)誘導(dǎo)公式一，可判斷出4π是函數(shù)f（x）的一個周期，再用反證法可得：4π是函數(shù)f（x）的最小正周期．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2sin$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$cosx，
∴f（x+4π）=2sin（$\frac{x}{2}$+2π）-$\sqrt{3}$cos（x+4π）=2sin$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$cosx=f（x），
故4π是函數(shù)f（x）的一個周期，
若4π不是函數(shù)f（x）的最小正周期，
則存在T∈（0，4π），使f（x+T）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{T}{2}$）-$\sqrt{3}$cos（x+T）=2sin$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$cosx恒成立，
令x=0，則2sin$\frac{T}{2}$-$\sqrt{3}$cosT=-$\sqrt{3}$，即2sin$\frac{T}{2}$（$\sqrt{3}$sin$\frac{T}{2}$+1）=0，
解得：T=2π，或T=arcsin（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
經(jīng)檢驗兩者均不是函數(shù)f（x）的周期，
故4π是函數(shù)f（x）的最小正周期，
故答案為：4π．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是三角函數(shù)周期的求法，難度中檔．