Question

6．給出以下結論：
①有兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱；
②有兩個相鄰側面是矩形的棱柱是正棱柱；
③各側面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；
④一個三棱錐四個面可以都為直角三角形；
⑤長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為α，β，γ，則cos²α+cos²β+cos²γ=1．
其中正確的是④⑤（將正確結論的序號全填上）

Answer 1

分析 在①中，如果對面是矩形斜棱柱也可以做到；在②中，有兩個相鄰側面是矩形的棱柱是直棱柱；在③中，底面一定是菱形，不一定是正方形；在④中，一個三棱錐四個面可以都為直角三角形；在⑤中，利用面對角線的性質求解．

解答 解：在①中，必須是相鄰的兩個側面是矩形的棱柱才是直棱柱，
如果對面是矩形斜棱柱也可以做到，故①錯誤；
在②中，有兩個相鄰側面是矩形的棱柱是直棱柱，不一定是正棱柱，故②錯誤；
在③中，各側面都是正方形時，底面的四條邊相等，
底面一定是菱形，不一定是正方形，
正棱柱的底面必須是正方形，故③錯誤；
在④中，一個三棱錐四個面可以都為直角三角形，
如右圖，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
則三棱錐P-ABC的四個面都是直角三角形，故④正確；
在⑤中，設對角線B₁D與長方體的棱AD、DC、D₁D所成的角分別為α、β、γ，
連結AB₁、CB₁，D₁B₁，則△B₁DA、△B₁DC、△B₁DD₁都是直角三角形．
∵cosα=$\frac{DA}{D{B}_{1}}$，cosβ=$\frac{DC}{D{B}_{1}}$，cosγ=$\frac{D{D}_{1}}{D{B}_{1}}$，
cos²α+cos²β+cos²γ=$\frac{D{A}^{2}+D{C}^{2}+D{{D}_{1}}^{2}}{D{B}^{2}}$=1．故⑤正確．
故答案為：④⑤．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．