Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2

-b2+4b-3

•x，g（x）=x²（2a²-x²）（a∈Z^*，b∈Z），若存在x₀，使f（x₀）為f（x）的最小值，g（x₀）為g（x）的最大值，則此時數(shù)對（a，b）為

 

．

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）中根據(jù)偶次根號下式子的意義可得：-b²+4b-3≥0?1≤b≤3，本題中函數(shù)的定義域為全體實數(shù)R，所以函數(shù)的最值可以采用一元二次方程的求根公式直接求得．

解答：解：由f(x)=ax2-2

-b2+4b-3

-x，知-b²+4b-3≥0?1≤b≤3，

又b∈z，得b=1，2，3；
又函數(shù)f（x）的定義域為R，
故函數(shù)f（x）的最小值要在對稱軸處取到為：x0=

-b2+4b-3

a

，

又因為g（x₀）為函數(shù)g（x）的最大值，則有 x₀²=a²

所以，函數(shù)的最小值x0=

-b2+4b-3

a

=a，得a⁴=-b²+4b-3 得：a=0 或 a=1
又a不為零，故a=1
所以，此時數(shù)對（a，b）為（1，2）．
故答案為（1，2）．

點評：一元二次函數(shù)最值問題一直是初中、高中的重點和難點，解決此類問題需要注意單調(diào)性和對一元二次方程
求根公式x=

-b± b2-4ac

2a

的應(yīng)用．