Question

6．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，其中a∈N^*，b∈N，c∈Z．
（1）若b＞2a，且f（sinx）（x∈R）的最大值為2，最小值為-4，試求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式4x≤f（x）≤2（x²+1）恒成立，且存在x₀使得f（x₀）＜2（x₀²+1）成立，求c的值；
（3）對(duì)于問(wèn)（1）中的f（x），若對(duì)任意的m∈[-4，1]，恒有f（x）≥2x²-mx-14，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先由題找到x∈[-1，1]，f（x）_max=2，f（x）_min=-4再利用a∈N^*，b∈N和b＞2a，判斷出函數(shù)在x∈[-1，1]上遞增，再利用f（sinα）（α∈R）的最大值為2，最小值為-4，求出a，b，c，再利用配方法求出f（x）的最小值；
（2）先由4≤f（1）≤4找到a+b+c=4①，再f（x）≥4x恒成立⇒△=（b-4）²-4ac≤0②，和f（x）≤2（x²+1）的結(jié)合求出a=1，c=1．（注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論）；
（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x²-（m+3）x-12≤0對(duì)?m∈[-4，1]恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的范圍即可．

解答 解：（1）由b＞2a，得$x=-\frac{2a}＜-1$，又sinx∈[-1，1]
故當(dāng)sinx=-1時(shí)，f（sinx）_Min=f（-1）=a-b+c=-4；…①
當(dāng)sinx=1時(shí)，f（sinx）_Max=f（1）=a+b+c=2；…②
由①式+②式，得b=3，又$a＜\frac{2}$且a∈N^*，∴a=1，帶入①式，得c=-2
∴f（x）=x²+3x-2，則$f{（x）_{Min}}=f（-\frac{3}{2}）=-\frac{17}{4}$；
（2）由題意可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時(shí)，4≤f（1）≤4，也即f（1）=4，
得a+b+c=4，…③
又f（x）=ax²+bx+c≥4x對(duì)?x∈R恒成立，故△=（b-4）²-4ac≤0…④
由③式知，4-b=a+c代入④式，得（a-c）²≤0，∴a=c…⑤
又∵?x₀∈R，使得$f（{x_0}）＜2（{x_0}^2+1）$成立，也即$（a-2）{x_0}^2+b{x_0}+c-2＜0$有解
由a∈N^*，討論如下：
i）若a=1，由③，⑤式知，b=2，c=a=1，
則$（a-2）{x_0}^2+b{x_0}+c-2=-{x_0}^2+2{x_0}-1=-{（{x_0}-1）^2}＜0$顯然有解，符合題意；
ii）若a=2，由③，⑤式知，b=0，c=a=2，
則$（a-2）{x_0}^2+b{x_0}+c-2=0＜0$，顯然不存在，舍去；
iii） 若a＞2，由⑤式知，c=a＞2，又由③式，得b＜0，這與條件中b∈N矛盾，舍去．
故a=1，也即c=1．
（3）由（1）知，f（x）=x²+3x-2，則題意即為x²+3x-2≥2x²-mx-14，
化簡(jiǎn)為：x²-（m+3）x-12≤0對(duì)?m∈[-4，1]恒成立
令g（m）=x²-（m+3）x-12，則只需$\left\{\begin{array}{l}g（-4）≤0\\ g（1）≤0\end{array}\right.$成立，
也即$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+x-12≤0\\{x^2}-4x-12≤0\end{array}\right.$解得：-2≤x≤3
故x的取值范圍為[-2，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，以及恒成立問(wèn)題，是道綜合題．關(guān)于給定解析式的二次函數(shù)在固定閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，一般根據(jù)是開(kāi)口向上的二次函數(shù)離對(duì)稱(chēng)軸越近函數(shù)值越小，離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大；開(kāi)口向下的二次函數(shù)離對(duì)稱(chēng)軸越近函數(shù)值越大，離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越�。�