Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-（a+1）x（a∈R）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當函數(shù)f（x）有最大值且最大值大于3a-1時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函數(shù)f（x）=lnx-（a+1）x（a∈R）的定義域為（0，+∞），${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-（a+1）$=$\frac{1-（a+1）x}{x}$，根據(jù)a+1≤0，a+1＞0分類討論，利用導數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）$f（x）_{max}=f（\frac{1}{a+1}）=ln\frac{1}{a+1}$-1，從而a≥-1，ln（a+1）+3a＜0，令g（a）=ln（a+1）+3a，利用導數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=lnx-（a+1）x（a∈R）的定義域為（0，+∞），
${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-（a+1）$=$\frac{1-（a+1）x}{x}$，（2分）
①當a+1≤0，即a≤-1時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（3分）
②當a+1＞0時，令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{a+1}$，
i）當0＜x＜$\frac{1}{a+1}$時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
ii）當x＞$\frac{1}{a+1}$時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減．（5分）
綜上所述：當a≤-1時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當a＞-1時，函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{a+1}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{a+1}$，+∞）上單調(diào)遞減．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：$f（x）_{max}=f（\frac{1}{a+1}）=ln\frac{1}{a+1}$-1，
∵當函數(shù)f（x）有最大值且最大值大于3a-1，
∴a≥-1，（7分）
此時ln$\frac{1}{a+1}-1＞3a-1$，即ln（a+1）+3a＜0，
令g（a）=ln（a+1）+3a，（9分）
∵g（0）=0且g（a）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（a）＜g（0），
∴-1＜a＜0，
故a的取值范圍為（-1，0）．（12分）

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)的討論，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法、分類討論思想的合理運用．