Question

如圖，已知圓O：x²+y²=64分別與x軸、y軸的正半軸交于點A、B，直線l：y=kx-k+2分別于x軸、y軸的正半軸交于點N、M．
（Ⅰ）求證：直線l恒過定點，并求出定點P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求證：直線l與圓O恒有兩個不同的交點；
（Ⅲ）求當(dāng)M、N恒在圓O內(nèi)部時，試求四邊形ABMN面積S的最大值及此時直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）直線l：y=kx-k+2，變形為y-2=k（x-1），利用點斜式，可得直線l恒過定點P（1，2）；
（Ⅱ）證明|OP|=

5

＜8，可得P在圓O內(nèi)，即可證明直線l與圓O恒有兩個不同的交點；
（Ⅲ）由M、N恒在圓O內(nèi)部，可得-6＜k＜-

2

7

．S_ABMN=

1

2

×8×8-

1

2

（2-k）（1-

2

k

）=30+

1

2

（k+

4

k

），利用-6＜k＜-2，函數(shù)單調(diào)遞增，-2＜k＜-

2

7

函數(shù)單調(diào)遞減，即可求四邊形ABMN面積S的最大值及此時直線l的方程．

解答： （Ⅰ）證明：直線l：y=kx-k+2，變形為y-2=k（x-1），
由題意x=1且y=2，
所以直線l恒過定點P（1，2）；
（Ⅱ）證明：圓O：x²+y²=64的圓心為（0，0），半徑為8，
因為|OP|=

5

＜8，所以P在圓O內(nèi)，
所以直線l與圓O恒有兩個不同的交點；
（Ⅲ）解：由題意，A（8，0），B（0，8），M（0，2-k），N（1-

2

k

，0），
因為M、N恒在圓O內(nèi)部，所以-6＜k＜-

2

7

．
所以S_ABMN=

1

2

×8×8-

1

2

（2-k）（1-

2

k

）=30+

1

2

（k+

4

k

），
因為-6＜k＜-2，函數(shù)單調(diào)遞增，-2＜k＜-

2

7

函數(shù)單調(diào)遞減，
所以k=-2時，四邊形ABMN面積S的最大值為28，此時直線l的方程為2x+y-4=0．

點評：本題考查直線與圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．