Question

16．已知點(diǎn)F是拋物線x²=4y的焦點(diǎn)，定點(diǎn)M（2，3），點(diǎn)P是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不在直線MF上），則△PMF周長(zhǎng)的最小值為4+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 要求△PMF周長(zhǎng)的最小值，只要求|MP|+|PF|的最小值．設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|=|PD|，即求|MP|+|PD|取得最小，進(jìn)而可推斷出當(dāng)D，M，P三點(diǎn)共線時(shí)|MP|+|PD|最小，答案可得．

解答 解：要求△PMF周長(zhǎng)的最小值，只要求|MP|+|PF|的最小值
設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|=|PD|
∴要求|MP|+|PF|取得最小值，即求|MP|+|PD|取得最小，
當(dāng)D，M，P三點(diǎn)共線時(shí)|MP|+|PD|最小，為3-（-1）=4，
∵|MF|=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
∴△PMF周長(zhǎng)的最小值為4+2$\sqrt{2}$．
故答案為：4+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷當(dāng)D，M，P三點(diǎn)共線時(shí)|PM|+|PD|最小，是解題的關(guān)鍵．