Question

11．已知點(diǎn)M是拋物線C₁：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C₁上的動點(diǎn)，點(diǎn)A、B在y軸上，△APB的內(nèi)切圓為圓C₂，（x一1）²+y²=1，且|MC₂|=3|OM|為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）求拋物線C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求△APB面積的最小值．

Answer 1

分析 （I）求出M（-$\frac{1}{2}$，0），可得$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$，即可求拋物線C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），A（0，b），B（0，c），求得直線PA的方程，運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，求得b，c的關(guān)系，求得△PAB的面積，結(jié)合基本不等式，即可得到最小值．

解答 解：（I）由題意，C₂（1，0），
∵|MC₂|=3|OM|，
∴M（-$\frac{1}{2}$，0），
∴$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴p=1，
∴拋物線C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程是y²=2x；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），A（0，b），B（0，c），
直線PA的方程為：（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，
又圓心（1，0）到PA的距離為1，
即$\frac{|{y}_{0}-b+{x}_{0}b|}{\sqrt{（{y}_{0}-b）^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}$=1，整理得：（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理可得：（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，
所以，可知b，c是方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根，
所以b+c=$\frac{-2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，bc=$\frac{-{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
依題意bc＜0，即x₀＞2，
則（c-b）²=$\frac{4{{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}-8{x}_{0}}{（{x}_{0}-2）^{2}}$，
因?yàn)閥₀²=2x₀，所以：|b-c|=|$\frac{2{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$|
所以S=$\frac{1}{2}$|b-c|•|x₀|=（x₀-2）+$\frac{4}{{x}_{0}-2}$+4≥8
當(dāng)x₀=4時上式取得等號，
所以△PAB面積最小值為8．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查定義法和方程的運(yùn)用，同時考查直線和圓相切的條件：d=r，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．