Question

6．已知函數(shù)f（x）=（a+1）x+（4a-5）在區(qū)間[0，2]內(nèi)的函數(shù)值有正有負(fù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]內(nèi)的函數(shù)值有正有負(fù)，可知f（x）在（0，2）上必有零點(diǎn)，求出f（x）的零點(diǎn)x₀，令0＜x₀＜2即可．

解答 解：當(dāng)a+1=0即a=-1時，f（x）=-9，不符合題意；
當(dāng)a+1≠0即a≠-1時，令f（x）=0
得（a+1）x+（4a-5）=0，
解得x=$\frac{5-4a}{a+1}$，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]內(nèi)的函數(shù)值有正有負(fù)，
∴0＜$\frac{5-4a}{a+1}$＜2，
解得$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{5}{4}$．
綜上所述，a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）．
故答案為（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的定義，確定f（x）在（0，2）上有零點(diǎn)是本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．