Question

13．若直線y=b與函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4的圖象有3個交點，則b的取值范圍（-$\frac{4}{3}$，$\frac{28}{3}$）．

Answer 1

分析 由已知得f′（x）=x²-4，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出x=-2時，f（x）取極大值，x=2時，f（x）取極小值．由直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個不同交點，結(jié)合函數(shù)圖象，知實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4，
∴f′（x）=x²-4，
當(dāng)x＜-2時，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；
當(dāng)-2＜x＜2時，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)；
當(dāng)x＞2時，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；
故當(dāng)x=-2時，f（x）取極大值$\frac{28}{3}$，
x=2時，f（x）取極小值-$\frac{4}{3}$，
若直線y=b與函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4的圖象有3個交點，
則b∈（-$\frac{4}{3}$，$\frac{28}{3}$），
故答案為：（-$\frac{4}{3}$，$\frac{28}{3}$）．

點評 本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，函數(shù)的零點個數(shù)及判斷，難度中檔．