Question

2．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x+1|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥a²-2a-1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設m＞0，n＞0且m+n=1，求證：$\sqrt{2m+1}+\sqrt{2n+1}≤2\sqrt{f（x）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的最小值，不等式f（x）≥a²-2a-1恒成立，可得a²-2a-1≤2，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）要證：$\sqrt{2m+1}+\sqrt{2n+1}≤2\sqrt{f（x）}$成立，只需證$\sqrt{2m+1}$+$\sqrt{2n+1}$≤2$\sqrt{2}$，利用分析法的證明步驟，結合基本不等式證明即可．

解答 （Ⅰ）解：f（x）=|2x-1|+|2x+1≥|（2x-1）-（2x+1）|=2，
∵不等式f（x）≥a²-2a-1恒成立，
∴a²-2a-1≤2，
∴a²-2a-3≤0，
∴-1≤a≤3；
（Ⅱ）要證：$\sqrt{2m+1}+\sqrt{2n+1}≤2\sqrt{f（x）}$成立，
只需證$\sqrt{2m+1}$+$\sqrt{2n+1}$≤2$\sqrt{2}$，
兩邊平方，整理即證（2m+1）（2n+1）≤4，
即證mn≤$\frac{1}{4}$，
又m+n=1，
∴mn≤$（\frac{m+n}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$．
故原不等式成立．

點評 本題考查分析法證明不等式的方法，基本不等式的應用，絕對值不等式的性質，考查邏輯推理能力以及計算能力．