Question

已知橢圓E：（a，b＞0）與雙曲線G：x²-y²=4，若橢圓E的頂點恰為雙曲線G的焦點，橢圓E的焦點恰為雙曲線G的頂點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）是否存在一個以原點為圓心的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B，且？若存在請求出該圓的方程，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓、雙曲線的標準方程與性質即可得出；
（2）假設存在一個以原點O為圓心的圓x²+y²=r²滿足條件，利用直線與橢圓相交得到根與系數(shù)的關系，再利用直線與圓相切的性質及垂直與數(shù)量積的關系即可得出．
解答：解：（1）由雙曲線G：x²-y²=4，得焦點，頂點（±2，0）．
∵橢圓E的頂點恰為雙曲線G的焦點，∴=8，c²=2²=4，∴b²=8-4=4．
∴橢圓E的方程為；
（2）假設存在一個以原點O為圓心的圓x²+y²=r²，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B，且．
當切線l的斜率存在時，設l的方程為y=kx+t，與橢圓的兩個交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立，消去y得到關于x的方程（1+2k²）x²+4ktx+2t²-8=0，
必須滿足△=16k²t²-4（1+2k²）（2t²-8）＞0，即8k²+4＞t²（*）．
∴x₁+x₂=，．（**）
∵直線l與圓x²+y²=r²，∴，化為t²=r²（1+k²）．①
∵，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t．
代入上式得，
把（**）代入上式得，
化為3t²=8（k²+1），②滿足（*）式．
由①②可得．
因此此時存在滿足條件的圓為．
當切線l的斜率不存在時，也滿足上述方程．
綜上可知：存在一個以原點O為圓心的圓x²+y²=，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B，且．
點評：熟練掌握橢圓、雙曲線的標準方程與性質、直線與橢圓相交得到根與系數(shù)的關系、直線與圓相切的性質、垂直與數(shù)量積的關系是解題的關鍵．