Question

下列5個(gè)命題中正確的序號(hào)是

 

．
（1）在等比數(shù)列{a_n}中a₂₀₁₃=1，則a₂₀₁₂+a₂₀₁₄的取值范圍是[2，+∞）
（2）在直線上任取兩點(diǎn)P₁，P₂，把向量

P1P2

叫做該直線的方向向量．則任意直線的方向向量都可以表示為向量（1，k）（k為該直線的斜率）
（3）已知G是△ABC的重心，且a

GA

+b

GB

+

3

GC

=

0

，其中a，b，c分別為角A、B、C的對(duì)邊，則cosC=

5

8

（4）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足a₇=a₆+2a₅，若存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得

aman

=4a1，則

1

m

+

4

n

的最小值為

3

2

（5）在空間中若一個(gè)n面體中有m個(gè)面是直角三角形，則稱這個(gè)n面體的“直度”為

m

n

．已知長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，那么四面體A-A₁B₁C₁的“直度”是0.5．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：（1）由題意得到a₂₀₁₂•a₂₀₁₄=1，舉例說(shuō)明命題不正確；
（2）對(duì)于斜率不存在的情況不成立，說(shuō)明命題錯(cuò)誤；
（3）由重心的性質(zhì)結(jié)合已知及余弦定理求出cosC，說(shuō)明命題錯(cuò)誤；
（4）由等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知求得m+n=6，然后利用基本不等式求

1

m

+

4

n

的最小值說(shuō)明命題正確；
（5）直接由題意取特殊情形說(shuō)明命題錯(cuò)誤．

解答： 解：對(duì)于（1），在等比數(shù)列{a_n}中a₂₀₁₃=1，則a₂₀₁₂•a₂₀₁₄=1，當(dāng)a₂₀₁₂=a₂₀₁₄=-1時(shí)滿足，∴a₂₀₁₂+a₂₀₁₄的取值范圍是[2，+∞）不正確；
對(duì)于（2），在直線上任取兩點(diǎn)P₁，P₂，把向量

P1P2

叫做該直線的方向向量．則斜率存在的直線的方向向量都可以表示為向量（1，k）（k為該直線的斜率），斜率不存在時(shí)不成立，命題（2）不正確；
對(duì)于（3），∵G是△ABC的重心，∴

GA

+

GB

+

GC

=

0

，∵a

GA

+b

GB

+

3

GC

=

0

，
∴a=b=

3

c．∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

5

6

，命題（3）不正確；
對(duì)于（4），設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，
∵a₇=a₆+2a₅，則a₁•q⁶=a₁•q⁵+2a₁•q⁴
即q²-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），
若

aman

=4a1，則m+n=6，
則6（

1

m

+

4

n

））=（m+n）（

1

m

+

4

n

）=5+（

n

m

+

4m

n

）≥5+4=9，
則

1

m

+

4

n

≥

9

6

=

3

2

，命題（4）正確；
對(duì)于（5），由題意知四面體A₁-ABC有4個(gè)面，其中直角三角形有4個(gè)，則四面體A₁-ABC的直度為

4

4

=1，命題（5）不正確．
故答案為：（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了平面向量在解題中的應(yīng)用，考查了數(shù)列不等式，是中檔題．